(in formats from the Mathematica program, from Wolfram Research, Inc.)

MagicNKZ =

Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^n (n - z + 1) j

Table[ MagicNKZ, {n,1,7},{k,0,11},{z,0,5}]//MatrixForm

( ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ... 682206 1119006 1738926 2587326

Expand[Table[ MagicNKZ, {z,0,10},{k,k,k},{n,1,10}]]//TableForm

 

z=0

n=1   0
n=2   0
n=3   0
n=4   0
n=5   0
n=6   0
n=7   0
n=8   0
n=9   0
n=10  0

 

z=1

n=1   1
n=2   2
n=3   6
n=4   24
n=5   120
n=6   720
n=7   5040
n=8   40320
n=9   362880
n=10  3628800

 

z=2

n=1   0
n=2   2 k + 1
n=3   6 k
n=4   24 k - 12
n=5   120 k - 120
n=6   720 k - 1080
n=7   5040 k - 10080
n=8   40320 k - 100800
n=9   362880 k - 1088640
n=10  3628800 k - 12700800

 

z=3

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-1) j
n=2   0
n=3   3 k^2 + 3 k + 1
n=4   12 k^2 + 2
n=5   60 k^2 - 60 k + 30
n=6   360 k^2 - 720 k + 480
n=7   2520 k^2 - 7560 k + 6720
n=8   20160 k^2 - 80640 k + 90720
n=9   181440 k^2 - 907200 k + 1239840
n=10   1814400 k^2 - 10886400 k + 17539200

 

z=4

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-2) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-1) j
n=3   0
n=4   4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1
n=5   20 k^3 + 10 k
n=6   120 k^3 - 180 k^2 + 180 k - 60
n=7   840 k^3 - 2520 k^2 + 3360 k - 1680
n=8   6720 k^3 - 30240 k^2 + 53760 k - 35280
n=9   60480 k^3 - 362880 k^2 + 816480 k - 665280
n=10  604800 k^3 - 4536000 k^2 + 12398400 k - 12096000

 

z=5

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-3) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-2) j
n=3   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^3 (-1) j
n=4   0
n=5   5 k^4 + 10 k^3 + 10 k^2 + 5 k + 1
n=6   30 k^4 + 30 k^2 + 2
n=7   210 k^4 - 420 k^3 + 630 k^2 - 420 k + 126
n=8   1680 k^4 - 6720 k^3 + 13440 k^2 - 13440 k + 5544
n=9   15120 k^4 - 90720 k^3 + 241920 k^2 - 317520 k + 168840
n=10  151200 k^4 - 1209600 k^3 + 4082400 k^2 - 6652800 k + 4339440

 

z=6

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-4) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-3) j
n=3   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^3 (-2) j
n=4   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^4 (-1) j
n=5   0
n=6   6 k^5 + 15 k^4 + 20 k^3 + 15 k^2 + 6 k + 1
n=7   42 k^5 + 70 k^3 + 14 k
n=8   336 k^5 - 840 k^4 + 1680 k^3 - 1680 k^2 + 1008 k - 252
n=9   3024 k^5 - 15120 k^4 + 40320 k^3 - 60480 k^2 + 49896 k - 17640
n=10  30240 k^5 - 226800 k^4 + 806400 k^3 - 1587600 k^2 + 1688400 k - 763560

 

z=7

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-5) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-4) j
n=3   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^3 (-3) j
n=4   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^4 (-2) j
n=5   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^5 (-1) j
n=6   0
n=7   7 k^6 + 21 k^5 + 35 k^4 + 35 k^3 + 21 k^2 + 7 k + 1
n=8   56 k^6 + 140 k^4 + 56 k^2 + 2
n=9   504 k^6 - 1512 k^5 + 3780 k^4 - 5040 k^3 + 4536 k^2 - 2268 k + 510
n=10  5040 k^6 - 30240 k^5 + 100800 k^4 - 201600 k^3 + 249480 k^2 - 176400 k + 54960

 

z=8

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-6) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-5) j
n=3   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^3 (-4) j
n=4   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^4 (-3) j
n=5   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^5 (-2) j
n=6   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^6 (-1) j
n=7   0
n=8   8 k^7 + 28 k^6 + 56 k^5 + 70 k^4 + 56 k^3 + 28 k^2 + 8 k + 1
n=9   72 k^7 + 252 k^5 + 168 k^3 + 18 k
n=10  720 k^7 - 2520 k^6 + 7560 k^5 - 12600 k^4 + 15120 k^3 - 11340 k^2 + 5100 k - 1020

 

z=9

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-7) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-6) j
n=3  Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^3 (-5) j
n=4   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^4 (-4) j
n=5   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^5 (-3) j
n=6   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^6 (-2) j
n=7   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^7 (-1) j
n=8   0
n=9   9 k^8 + 36 k^7 + 84 k^6 + 126 k^5 + 126 k^4 + 84 k^3 + 36 k^2 + 9 k + 1
n=10  90 k^8 + 420 k^6 + 420 k^4 + 90 k^2 + 2

 

z=10

n=1   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1) (-8) j
n=2   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^2 (-7) j
n=3   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^3 (-6) j
n=4   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^4 (-5) j
n=5   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^5 (-4) j
n=6   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^6 (-3) j
n=7   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^7 (-2) j
n=8   Underoverscript[∑, j = 0, arg3] (-1)^j (-j + k + 1)^8 (-1) j
n=9   0
n=10  10 k^9 + 45 k^8 + 120 k^7 + 210 k^6 + 252 k^5 + 210 k^4 + 120 k^3 + 45 k^2 + 10 k + 1

Expand[Table[ MagicNKZ, {k,0,12},{z,z,z},{n,1,10}]]//TableForm

 

k=0

n=1   1
n=2   1
n=3   1
n=4   1
n=5   1
n=6   1
n=7   1
n=8   1
n=9   1
n=10  1

 

k=1

n=1   z
n=2   z + 1
n=3   z + 4
n=4   z + 11
n=5   z + 26
n=6   z + 57
n=7   z + 120
n=8   z + 247
n=9   z + 502
n=10  z + 1013

 

k=2

n=1  z^2/2 + z/2
n=2  z^2/2 + (3 z)/2
n=3  z^2/2 + (9 z)/2 + 1
n=4  z^2/2 + (23 z)/2 + 11
n=5  z^2/2 + (53 z)/2 + 66
n=6  z^2/2 + (115 z)/2 + 302
n=7  z^2/2 + (241 z)/2 + 1191
n=8  z^2/2 + (495 z)/2 + 4293
n=9  z^2/2 + (1005 z)/2 + 14608
n=10 z^2/2 + (2027 z)/2 + 47840

 

k=3

n=1  z^3/6 + z^2/2 + z/3
n=2  z^3/6 + z^2 + (5 z)/6
n=3  z^3/6 + (5 z^2)/2 + (10 z)/3
n=4  z^3/6 + 6 z^2 + (101 z)/6 + 1
n=5  z^3/6 + (27 z^2)/2 + (238 z)/3 + 26
n=6  z^3/6 + 29 z^2 + (1985 z)/6 + 302
n=7  z^3/6 + (121 z^2)/2 + (3754 z)/3 + 2416
n=8  z^3/6 + 124 z^2 + (26501 z)/6 + 15619
n=9  z^3/6 + (503 z^2)/2 + (44578 z)/3 + 88234
n=10 z^3/6 + 507 z^2 + (290081 z)/6 + 455192

 

k=4

n=1  z^4/24 + z^3/4 + (11 z^2)/24 + z/4
n=2  z^4/24 + (5 z^3)/12 + (23 z^2)/24 + (7 z)/12
n=3  z^4/24 + (11 z^3)/12 + (71 z^2)/24 + (25 z)/12
n=4  z^4/24 + (25 z^3)/12 + (275 z^2)/24 + (125 z)/12
n=5  z^4/24 + (55 z^3)/12 + (1115 z^2)/24 + (815 z)/12 + 1
n=6  z^4/24 + (39 z^3)/4 + (4319 z^2)/24 + (1889 z)/4 + 57
n=7  z^4/24 + (81 z^3)/4 + (15743 z^2)/24 + (12207 z)/4 + 1191
n=8  z^4/24 + (497 z^3)/12 + (54491 z^2)/24 + (214177 z)/12 + 15619
n=9  z^4/24 + (1007 z^3)/12 + (181331 z^2)/24 + (1148467 z)/12 + 156190
n=10 z^4/24 + (2029 z^3)/12 + (586247 z^2)/24 + (5753399 z)/12 + 1310354

 

k=5

n=1  z^5/120 + z^4/12 + (7 z^3)/24 + (5 z^2)/12 + z/5
n=2  z^5/120 + z^4/8 + (13 z^3)/24 + (7 z^2)/8 + (9 z)/20
n=3  z^5/120 + z^4/4 + (35 z^3)/24 + (11 z^2)/4 + (23 z)/15
n=4  z^5/120 + (13 z^4)/24 + (39 z^3)/8 + (275 z^2)/24 + (427 z)/60
n=5  z^5/120 + (7 z^4)/6 + (427 z^3)/24 + (175 z^2)/3 + (427 z)/10
n=6  z^5/120 + (59 z^4)/24 + (519 z^3)/8 + (7885 z^2)/24 + (19387 z)/60 + 1
n=7  z^5/120 + (61 z^4)/12 + (5491 z^3)/24 + (22307 z^2)/12 + (14131 z)/5 + 120
n=8  z^5/120 + (83 z^4)/8 + (18661 z^3)/24 + (80557 z^2)/8 + (498429 z)/20 + 4293
n=9  z^5/120 + 21 z^4 + (61451 z^3)/24 + (103303 z^2)/2 + (6159061 z)/30 + 88234
n=10 z^5/120 + (1015 z^4)/24 + (65815 z^3)/8 + (6047537 z^2)/24 + (93249007 z)/60 + 1310354

 

k=6

n=1  z^6/720 + z^5/48 + (17 z^4)/144 + (5 z^3)/16 + (137 z^2)/360 + z/6
n=2  z^6/720 + (7 z^5)/240 + (29 z^4)/144 + (29 z^3)/48 + (287 z^2)/360 + (11 z)/30
n=3  z^6/720 + (13 z^5)/240 + (71 z^4)/144 + (83 z^3)/48 + (451 z^2)/180 + (73 z)/60
n=4  z^6/720 + (9 z^5)/80 + (215 z^4)/144 + (103 z^3)/16 + (1891 z^2)/180 + (109 z)/20
n=5  z^6/720 + (19 z^5)/80 + (725 z^4)/144 + (1379 z^3)/48 + (19787 z^2)/360 + (931 z)/30
n=6  z^6/720 + (119 z^5)/240 + (2513 z^4)/144 + (6853 z^3)/48 + (123137 z^2)/360 + (6517 z)/30
n=7  z^6/720 + (49 z^5)/48 + (8603 z^4)/144 + (35315 z^3)/48 + (107989 z^2)/45 + (7371 z)/4 + 1
n=8  z^6/720 + (499 z^5)/240 + (28739 z^4)/144 + (179941 z^3)/48 + (1592093 z^2)/90 + (368633 z)/20 + 247
n=9  z^6/720 + (1009 z^5)/240 + (93689 z^4)/144 + (888211 z^3)/48 + (46482077 z^2)/360 + (1994929 z)/10 + 14608
n=10 z^6/720 + (677 z^5)/80 + (299213 z^4)/144 + (4229813 z^3)/48 + (325843967 z^2)/360 + (63882733 z)/30 + 455192

 

k=7

n=1  z^7/5040 + z^6/240 + (5 z^5)/144 + (7 z^4)/48 + (29 z^3)/90 + (7 z^2)/20 + z/7
n=2  z^7/5040 + z^6/180 + z^5/18 + (19 z^4)/72 + (457 z^3)/720 + (263 z^2)/360 + (13 z)/42
n=3  z^7/5040 + (7 z^6)/720 + (91 z^5)/720 + (101 z^4)/144 + (671 z^3)/360 + (103 z^2)/45 + (106 z)/105
n=4  z^7/5040 + (7 z^6)/360 + (16 z^5)/45 + (173 z^4)/72 + (5197 z^3)/720 + (431 z^2)/45 + (1859 z)/420
n=5  z^7/5040 + (29 z^6)/720 + (811 z^5)/720 + (1411 z^4)/144 + (12371 z^3)/360 + (9029 z^2)/180 + (5147 z)/210
n=6  z^7/5040 + z^6/12 + (673 z^5)/180 + (357 z^4)/8 + (137677 z^3)/720 + (7567 z^2)/24 + (11553 z)/70
n=7  z^7/5040 + (41 z^6)/240 + (8971 z^5)/720 + (10283 z^4)/48 + (427571 z^3)/360 + (23051 z^2)/10 + (46212 z)/35
n=8  z^7/5040 + (25 z^6)/72 + (1843 z^5)/45 + (74725 z^4)/72 + (5643037 z^3)/720 + (683921 z^2)/36 + (1736629 z)/140 + 1
n=9  z^7/5040 + (101 z^6)/144 + (95203 z^5)/720 + (713255 z^4)/144 + (18902891 z^3)/360 + (6081503 z^2)/36 + (9509657 z)/70 + 502
n=10 z^7/5040 + (127 z^6)/90 + (15113 z^5)/36 + (1661237 z^4)/72 + (249451597 z^3)/720 + (554149027 z^2)/360 + (23389641 z)/14 + 47840

 

k=8

n=1  z^8/40320 + z^7/1440 + (23 z^6)/2880 + (7 z^5)/144 + (967 z^4)/5760 + (469 z^3)/1440 + (363 z^2)/1120 + z/8
n=2  z^8/40320 + z^7/1120 + (7 z^6)/576 + z^5/12 + (1807 z^4)/5760 + (311 z^3)/480 + (151 z^2)/224 + (15 z)/56
n=3  z^8/40320 + z^7/672 + (5 z^6)/192 + (5 z^5)/24 + (1669 z^4)/1920 + (185 z^3)/96 + (4243 z^2)/2016 + (145 z)/168
n=4  z^8/40320 + (29 z^7)/10080 + (199 z^6)/2880 + (481 z^5)/720 + (18167 z^4)/5760 + (10943 z^3)/1440 + (88471 z^2)/10080 + (3133 z)/840
n=5  z^8/40320 + (59 z^7)/10080 + (599 z^6)/2880 + (1831 z^5)/720 + (80407 z^4)/5760 + (53513 z^3)/1440 + (153997 z^2)/3360 + (5681 z)/280
n=6  z^8/40320 + (121 z^7)/10080 + (383 z^6)/576 + (3901 z^5)/360 + (412847 z^4)/5760 + (310417 z^3)/1440 + (579923 z^2)/2016 + (112211 z)/840
n=7  z^8/40320 + (247 z^7)/10080 + (6227 z^6)/2880 + (8849 z^5)/180 + (2357167 z^4)/5760 + (2064379 z^3)/1440 + (7084921 z^2)/3360 + (290421 z)/280
n=8  z^8/40320 + (167 z^7)/3360 + (20159 z^6)/2880 + (54773 z^5)/240 + (14373367 z^4)/5760 + (1695563 z^3)/160 + (19775979 z^2)/1120 + (2613789 z)/280
n=9  z^8/40320 + (337 z^7)/3360 + (21493 z^6)/960 + (253703 z^5)/240 + (30064669 z^4)/1920 + (40423279 z^3)/480 + (1668314891 z^2)/10080 + (26997079 z)/280 + 1
n=10 z^8/40320 + (2033 z^7)/10080 + (203539 z^6)/2880 + (217132 z^5)/45 + (566360207 z^4)/5760 + (999391541 z^3)/1440 + (17051085091 z^2)/10080 + (318910407 z)/280 + 1013

 

k=9

n=1  z^9/362880 + z^8/10080 + (13 z^7)/8640 + z^6/80 + (1069 z^5)/17280 + (89 z^4)/480 + (29531 z^3)/90720 + (761 z^2)/2520 + z/9
n=2  z^9/362880 + z^8/8064 + (19 z^7)/8640 + (59 z^6)/2880 + (1909 z^5)/17280 + (407 z^4)/1152 + (29539 z^3)/45360 + (6311 z^2)/10080 + (17 z)/72
n=3  z^9/362880 + z^8/5040 + (271 z^7)/60480 + (7 z^6)/144 + (5029 z^5)/17280 + (361 z^4)/360 + (176951 z^3)/90720 + (491 z^2)/252 + (95 z)/126
n=4  z^9/362880 + z^8/2688 + (137 z^7)/12096 + (85 z^6)/576 + (17269 z^5)/17280 + (4325 z^4)/1152 + (70445 z^3)/9072 + (16325 z^2)/2016 + (1625 z)/504
n=5  z^9/362880 + z^8/1344 + (395 z^7)/12096 + (17 z^6)/32 + (72013 z^5)/17280 + (1109 z^4)/64 + (698125 z^3)/18144 + (14159 z^2)/336 + (21827 z)/1260
n=6  z^9/362880 + (61 z^8)/40320 + (6109 z^7)/60480 + (6179 z^6)/2880 + (347077 z^5)/17280 + (542827 z^4)/5760 + (10317187 z^3)/45360 + (885737 z^2)/3360 + (283153 z)/2520
n=7  z^9/362880 + (31 z^8)/10080 + (19423 z^7)/60480 + (418 z^6)/45 + (1857733 z^5)/17280 + (840227 z^4)/1440 + (141134663 z^3)/90720 + (4856587 z^2)/2520 + (269783 z)/315
n=8  z^9/362880 + (251 z^8)/40320 + (61981 z^7)/60480 + (13301 z^6)/320 + (2131265 z^5)/3456 + (2554933 z^4)/640 + (544998943 z^3)/45360 + (162553561 z^2)/10080 + (18968851 z)/2520
n=9  z^9/362880 + (253 z^8)/20160 + (196471 z^7)/60480 + (89969 z^6)/480 + (63443149 z^5)/17280 + (9383539 z^4)/320 + (9298124561 z^3)/90720 + (765719603 z^2)/5040 + (18968851 z)/252
n=10 z^9/362880 + (113 z^8)/4480 + (616717 z^7)/60480 + (268687 z^6)/320 + (76423217 z^5)/3456 + (143794631 z^4)/640 + (42803205661 z^3)/45360 + (1778979123 z^2)/1120 + (2139856291 z)/2520 + 1

 

k=10

n=1  z^10/3628800 + z^9/80640 + (29 z^8)/120960 + z^7/384 + (3013 z^6)/172800 + (19 z^5)/256 + (4523 z^4)/22680 + (1303 z^3)/4032 + (7129 z^2)/25200 + z/10
n=2  z^10/3628800 + (11 z^9)/725760 + (41 z^8)/120960 + (71 z^7)/17280 + (5173 z^6)/172800 + (4703 z^5)/34560 + (34913 z^4)/90720 + (117697 z^3)/181440 + (4913 z^2)/8400 + (19 z)/90
n=3  z^10/3628800 + (17 z^9)/725760 + z^8/1512 + (161 z^7)/17280 + (13033 z^6)/172800 + (12797 z^5)/34560 + (80485 z^4)/72576 + (353977 z^3)/181440 + (30491 z^2)/16800 + (241 z)/360
n=4  z^10/3628800 + (31 z^9)/725760 + (97 z^8)/60480 + (653 z^7)/24192 + (42673 z^6)/172800 + (45763 z^5)/34560 + (1535543 z^4)/362880 + (283363 z^3)/36288 + (379003 z^2)/50400 + (7157 z)/2520
n=5  z^10/3628800 + (61 z^9)/725760 + (77 z^8)/17280 + (2243 z^7)/24192 + (169213 z^6)/172800 + (200953 z^5)/34560 + (3630649 z^4)/181440 + (1414243 z^3)/36288 + (70211 z^2)/1800 + (19051 z)/1260
n=6  z^10/3628800 + (41 z^9)/241920 + (1619 z^8)/120960 + (2887 z^7)/8064 + (774013 z^6)/172800 + ( ... 173 z^5)/11520 + (20379829 z^4)/181440 + (2814167 z^3)/12096 + (3064127 z^2)/12600 + (40751 z)/420
n=7  z^10/3628800 + (83 z^9)/241920 + (2521 z^8)/60480 + (60061 z^7)/40320 + (3931153 z^6)/172800 + ... 3 z^5)/768 + (263224439 z^4)/362880 + (97567171 z^3)/60480 + (89300363 z^2)/50400 + (613369 z)/840
n=8  z^10/3628800 + (503 z^9)/725760 + (124 z^8)/945 + (780737 z^7)/120960 + (21455113 z^6)/172800 ... 12 + (1907455769 z^4)/362880 + (2305503727 z^3)/181440 + (744875233 z^2)/50400 + (15924649 z)/2520
n=9  z^10/3628800 + (1013 z^9)/725760 + (49877 z^8)/120960 + (3436367 z^7)/120960 + (122260453 z^6) ... 60 + (1896671863 z^4)/45360 + (20254581127 z^3)/181440 + (3500741369 z^2)/25200 + (19525286 z)/315
n=10 z^10/3628800 + (407 z^9)/145152 + (31141 z^8)/24192 + (15127849 z^7)/120960 + (710433493 z^6)/ ... + (6485731285 z^4)/18144 + (195234486689 z^3)/181440 + (12203756653 z^2)/8400 + (214778146 z)/315

 

k=11

n=1  z^11/39916800 + z^10/725760 + z^9/30240 + (11 z^8)/24192 + (683 z^7)/172800 + (781 z^6)/34560 + (31063 z^5)/362880 + (7645 z^4)/36288 + (16103 z^3)/50400 + (671 z^2)/2520 + z/11
n=2  z^11/39916800 + z^10/604800 + (11 z^9)/241920 + z^8/1440 + (1133 z^7)/172800 + (1153 z^6)/28800 + (115991 z^5)/725760 + (24803 z^4)/60480 + (64781 z^3)/100800 + (659 z^2)/1200 + (21 z)/110
n=3  z^11/39916800 + z^10/403200 + (31 z^9)/362880 + (61 z^8)/40320 + (2743 z^7)/172800 + (671 z^6) ... 00 + (80621 z^5)/181440 + (24067 z^4)/20160 + (219733 z^3)/113400 + (10709 z^2)/6300 + (298 z)/495
n=4  z^11/39916800 + z^10/226800 + (29 z^9)/145152 + (509 z^8)/120960 + (319 z^7)/6400 + (15547 z^6 ... 99 z^5)/725760 + (1673543 z^4)/362880 + (7058659 z^3)/907200 + (354013 z^2)/50400 + (10051 z)/3960
n=5  z^11/39916800 + (31 z^10)/3628800 + (13 z^9)/24192 + (1679 z^8)/120960 + (228881 z^7)/1209600 ... 2091 z^5)/181440 + (2008907 z^4)/90720 + (2948117 z^3)/75600 + (915499 z^2)/25200 + (61987 z)/4620
n=6  z^11/39916800 + (31 z^10)/1814400 + (163 z^9)/103680 + (3119 z^8)/60480 + (111259 z^7)/134400 ... ^5)/725760 + (5747327 z^4)/45360 + (30337447 z^3)/129600 + (2845099 z^2)/12600 + (1183727 z)/13860
n=7  z^11/39916800 + (5 z^10)/145152 + (83 z^9)/17280 + (5015 z^8)/24192 + (4865681 z^7)/1209600 + ... 67393 z^5)/181440 + (30427975 z^4)/36288 + (2207557 z^3)/1350 + (413243 z^2)/252 + (735466 z)/1155
n=8  z^11/39916800 + z^10/14400 + (3611 z^9)/241920 + (35197 z^8)/40320 + (25464611 z^7)/1209600 + ... )/725760 + (12043813 z^4)/1920 + (1311534491 z^3)/100800 + (76342219 z^2)/5600 + (16787853 z)/3080
n=9  z^11/39916800 + (169 z^10)/1209600 + (16879 z^9)/362880 + (151537 z^8)/40320 + (139774801 z^7) ... + (1574120741 z^4)/30240 + (26295733391 z^3)/226800 + (3218358103 z^2)/25200 + (731372923 z)/13860
n=10 z^11/39916800 + (509 z^10)/1814400 + (104821 z^9)/725760 + (30767 z^8)/1890 + (262370257 z^7)/ ... 5495424773 z^4)/181440 + (1034895607849 z^3)/907200 + (11185844329 z^2)/8400 + (1979340623 z)/3465

 

k=12

n=1  z^12/479001600 + z^11/7257600 + z^10/248832 + (11 z^9)/161280 + (10831 z^8)/14515200 + (1903 z ... 20 + (139381 z^5)/1451520 + (341747 z^4)/1555200 + (190553 z^3)/604800 + (83711 z^2)/332640 + z/12
n=2  z^12/479001600 + (13 z^11)/79833600 + (47 z^10)/8709120 + (7 z^9)/69120 + (17431 z^8)/14515200 ... 63633 z^5)/1451520 + (4685729 z^4)/10886400 + (54827 z^3)/86400 + (172283 z^2)/332640 + (23 z)/132
n=3  z^12/479001600 + (19 z^11)/79833600 + (61 z^10)/6220800 + (103 z^9)/483840 + (40711 z^8)/14515 ... z^5)/1451520 + (1962467 z^4)/1555200 + (1158947 z^3)/604800 + (2660509 z^2)/1663200 + (361 z)/660
n=4  z^12/479001600 + z^11/2419200 + (967 z^10)/43545600 + (829 z^9)/1451520 + (17593 z^8)/2073600 ... ^5)/483840 + (53520689 z^4)/10886400 + (13988917 z^3)/1814400 + (1566847 z^2)/237600 + (413 z)/180
n=5  z^12/479001600 + z^11/1267200 + (361 z^10)/6220800 + (377 z^9)/207360 + (64273 z^8)/2073600 + ... ^5)/69120 + (37088717 z^4)/1555200 + (10041461 z^3)/259200 + (4041761 z^2)/118800 + (47761 z)/3960
n=6  z^12/479001600 + (5 z^11)/3193344 + (7219 z^10)/43545600 + (9479 z^9)/1451520 + (1893391 z^8)/ ... 20 + (1504131359 z^4)/10886400 + (16933127 z^3)/72576 + (175373789 z^2)/831600 + (2114719 z)/27720
n=7  z^12/479001600 + (251 z^11)/79833600 + (21667 z^10)/43545600 + (36961 z^9)/1451520 + (8855311 ... 0108569719 z^4)/10886400 + (2969950729 z^3)/1814400 + (1269952967 z^2)/831600 + (15654077 z)/27720
n=8  z^12/479001600 + (101 z^11)/15966720 + (66511 z^10)/43545600 + (30341 z^9)/290304 + (44694871 ... 77096096699 z^4)/10886400 + (4753236689 z^3)/362880 + (10525045451 z^2)/831600 + (26579653 z)/5544
n=9  z^12/479001600 + (29 z^11)/2280960 + (205591 z^10)/43545600 + (128015 z^9)/290304 + (237445231 ... 272929 z^4)/10886400 + (42680528663 z^3)/362880 + (196564823977 z^2)/1663200 + (637202707 z)/13860
n=10 z^12/479001600 + (97 z^11)/3801600 + (127007 z^10)/8709120 + (2730611 z^9)/1451520 + (13003837 ... 1789 z^4)/10886400 + (2121780845423 z^3)/1814400 + (408550938269 z^2)/332640 + (1364177869 z)/2772

 

FullSimplify[Table[ MagicNKZ, {k,0,12},{z,z,z},{n,1,10}]]//TableForm

 

k=0

n=1   1
n=2   1
n=3   1
n=4   1
n=5   1
n=6   1
n=7   1
n=8   1
n=9   1
n=10  1

 

k=1

n=1   z
n=2   z + 1
n=3   z + 4
n=4   z + 11
n=5   z + 26
n=6   z + 57
n=7   z + 120
n=8   z + 247
n=9   z + 502
n=10  z + 1013

 

k=2

n=1   1/2 z (z + 1)
n=2   1/2 z (z + 3)
n=3   1/2 (z (z + 9) + 2)
n=4   1/2 (z + 1) (z + 22)
n=5   1/2 (z (z + 53) + 132)
n=6   1/2 (z (z + 115) + 604)
n=7   1/2 (z (z + 241) + 2382)
n=8   1/2 (z + 18) (z + 477)
n=9   1/2 (z (z + 1005) + 29216)
n=10  1/2 (z (z + 2027) + 95680)

 

k=3

n=1   1/6 z (z + 1) (z + 2)
n=2   1/6 z (z + 1) (z + 5)
n=3   1/6 z (z (z + 15) + 20)
n=4   1/6 (z + 3) (z (z + 33) + 2)
n=5   1/6 (z + 6) (z (z + 75) + 26)
n=6   1/6 (z + 1) (z (z + 173) + 1812)
n=7   1/6 (z (z (z + 363) + 7508) + 14496)
n=8   1/6 (z (z (z + 744) + 26501) + 93714)
n=9   1/6 (z (z (z + 1509) + 89156) + 529404)
n=10  1/6 (z (z (z + 3042) + 290081) + 2731152)

 

k=4

n=1   1/24 z (z + 1) (z + 2) (z + 3)
n=2   1/24 z (z + 1) (z + 2) (z + 7)
n=3   1/24 z (z + 1) (z (z + 21) + 50)
n=4   1/24 z (z + 5) (z (z + 45) + 50)
n=5   1/24 (z (z (z (z + 110) + 1115) + 1630) + 24)
n=6   1/24 (z + 3) (z (z (z + 231) + 3626) + 456)
n=7   1/24 (z (z (z (z + 486) + 15743) + 73242) + 28584)
n=8   1/24 (z + 1) (z (z (z + 993) + 53498) + 374856)
n=9   1/24 (z (z (z (z + 2014) + 181331) + 2296934) + 3748560)
n=10  1/24 (z (z (z (z + 4058) + 586247) + 11506798) + 31448496)

 

k=5

n=1   1/120 z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4)
n=2   1/120 z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 9)
n=3   1/120 z (z + 1) (z + 2) (z + 4) (z + 23)
n=4   1/120 z (z + 1) (z + 7) (z (z + 57) + 122)
n=5   1/120 z (z (z (z (z + 140) + 2135) + 7000) + 5124)
n=6   1/120 (z + 5) (z (z (z (z + 290) + 6335) + 7750) + 24)
n=7   1/120 (z (z (z (z (z + 610) + 27455) + 223070) + 339144) + 14400)
n=8   1/120 (z + 3) (z (z (z (z + 1242) + 89579) + 939618) + 171720)
n=9   1/120 (z (z (z (z (z + 2520) + 307255) + 6198180) + 24636244) + 10588080)
n=10  1/120 (z + 1) (z (z (z (z + 5074) + 982151) + 29255534) + 157242480)

 

k=6

n=1   1/720 z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5)
n=2   1/720 z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 11)
n=3   1/720 z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z (z + 33) + 146)
n=4   1/720 z (z + 1) (z + 2) (z + 9) (z (z + 69) + 218)
n=5   1/720 z (z + 1) (z (z (z (z + 170) + 3455) + 17230) + 22344)
n=6   1/720 z (z + 7) (z (z (z (z + 350) + 10115) + 31990) + 22344)
n=7   1/720 (z (z (z (z (z (z + 735) + 43015) + 529725) + 1727824) + 1326780) + 720)
n=8   1/720 (z + 5) (z (z (z (z (z + 1492) + 136235) + 2017940) + 2647044) + 35568)
n=9   1/720 (z (z (z (z (z (z + 3027) + 468445) + 13323165) + 92964154) + 143634888) + 10517760)
n=10  1/720 (z + 3) (z (z (z (z (z + 6090) + 1477795) + 59013810) + 474646504) + 109246080)

 

k=7

n=1   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6))/5040
n=2   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 13))/5040
n=3   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z (z + 39) + 212))/5040
n=4   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 11) (z (z + 81) + 338))/5040
n=5   (z (z + 1) (z + 2) (z + 6) (z (z (z + 194) + 3911) + 10294))/5040
n=6   (z (z + 1) (z + 9) (z (z (z (z + 410) + 14735) + 73870) + 92424))/5040
n=7   (z (z (z (z (z (z (z + 861) + 62797) + 1079715) + 5985994) + 11617704) + 6654528))/5040
n=8   ((z + 7) (z (z (z (z (z (z + 1743) + 194215) + 3871245) + 12402544) + 8931132) + 720))/5040
n=9   (z (z (z (z (z (z (z + 3535) + 666421) + 24963925) + 264640474) + 851410420) + 684695304) + 2530080)/5040
n=10  ((z + 5) (z (z (z (z (z (z + 7107) + 2080285) + 105885165) + 1216735354) + 1674409608) + 48222720))/5040

 

k=8

n=1   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7))/40320
n=2   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 15))/40320
n=3   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z (z + 45) + 290))/40320
n=4   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 13) (z (z + 93) + 482))/40320
n=5   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z (z (z (z + 230) + 6995) + 58030) + 136344))/40320
n=6   (z (z + 1) (z + 2) (z + 11) (z (z (z (z + 470) + 20195) + 137710) + 244824))/40320
n=7   (z (z + 1) (z (z (z (z (z (z + 987) + 86191) + 1895985) + 14604184) + 43198428) + 41820624))/40320
n=8   (z (z + 9) (z (z (z (z (z (z + 1995) + 264271) + 6823425) + 39202744) + 74457180) + 41820624))/40320
n=9   (z (z (z (z (z (z (z (z + 4044) + 902706) + 42622104) + 631358049) + 3395555436) + 6673259564) + 3887579376) + 40320)/40320
n=10  ((z + 7) (z (z (z (z (z (z (z + 8125) + 2792671) + 175001575) + 2739510424) + 8806390180) + 6559609104) + 5834880))/40320

 

k=9

n=1   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8))/362880
n=2   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 17))/362880
n=3   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z (z + 51) + 380))/362880
n=4   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 15) (z (z + 105) + 650))/362880
n=5   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 26) (z (z (z + 234) + 3131) + 10074))/362880
n=6   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 13) (z (z (z (z + 530) + 26495) + 227830) + 522744))/362880
n=7   (z (z + 1) (z + 2) (z (z (z (z (z (z + 1113) + 113197) + 3028935) + 29699194) + 116581752) + 155395008))/362880
n=8   (z (z + 1) (z + 11) (z (z (z (z (z (z + 2247) + 344911) + 10919685) + 88952584) + 261099468) + 248319504))/362880
n=9   (z (z (z (z (z (z (z (z (z + 4554) + 1178826) + 68016564) + 1332306129) + 10640933226) + 37192498244) + 55131811416) + 27315145440))/362880
n=10  ((z + 9) (z (z (z (z (z (z (z (z + 9144) + 3618006) + 272129004) + 5575276749) + 31354065036) + 60239059964) + 34237696176) + 40320))/362880

 

k=10

n=1   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 9))/3628800
n=2   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 19))/3628800
n=3   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z (z + 57) + 482))/3628800
n=4   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 17) (z (z + 117) + 842))/3628800
n=5   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z (z (z (z + 290) + 11735) + 135550) + 457224))/3628800
n=6   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 15) (z (z (z (z + 590) + 33635) + 348550) + 978024))/3628800
n=7   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z (z (z (z (z (z + 1239) + 143815) + 4528965) + 53791024) + 261957276) + 441625680))/3628800
n=8   (z (z + 1) (z + 2) (z + 13) (z (z (z (z (z (z + 2499) + 436135) + 16341465) + 171147424) + 671915916) + 881980560))/3628800
n=9   (z (z + 1) (z (z (z (z (z (z (z (z + 5064) + 1491246) + 101599764) + 2465869749) + 25817588916) + 125916160124) + 279175462416) + 224931294720))/3628800
n=10  (z (z + 11) (z (z (z (z (z (z (z (z + 10164) + 4559346) + 403682664) + 10478594049) + 89444178516) + 313260293324) + 458826507216) + 224931294720))/3628800

 

k=11

n=1   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 9) (z + 10))/39916800
n=2   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 9) (z + 21))/39916800
n=3   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z (z + 63) + 596))/39916800
n=4   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 19) (z (z + 129) + 1058))/39916800
n=5   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z (z (z (z + 320) + 14555) + 191680) + 743844))/39916800
n=6   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 17) (z (z (z (z + 650) + 41615) + 504190) + 1671144))/39916800
n=7   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z (z (z (z (z (z + 1365) + 178045) + 6446475) + 89802874) + 521005800) + 1059071040))/39916800
n=8   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 15) (z (z (z (z (z (z + 2751) + 537943) + 23270205) + 296855104) + 1453147164) + 2417450832))/39916800
n=9   (z (z + 1) (z + 2) (z (z (z (z (z (z (z (z + 5574) + 1839966) + 144490584) + 4175416749) + 53820320106) + 333674878004) + 969174103896) + 1053177009120))/39916800
n=10  (z (z + 1) (z + 13) (z (z (z (z (z (z (z (z + 11184) + 5608566) + 571133724) + 17905871949) + 202159462596) + 998641965404) + 2199932920656) + 1754000305920))/39916800

 

k=12

n=1   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 9) (z + 10) (z + 11))/479001600
n=2   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 9) (z + 10) (z + 23))/479001600
n=3   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 9) (z (z + 69) + 722))/479001600
n=4   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z + 8) (z + 21) (z (z + 141) + 1298))/479001600
n=5   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 7) (z (z (z (z + 350) + 17675) + 261310) + 1146264))/479001600
n=6   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z + 6) (z + 19) (z (z (z (z + 710) + 50435) + 699070) + 2671224))/479001600
n=7   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 5) (z (z (z (z (z (z + 1491) + 215887) + 8831865) + 141061144) + 948713724) + 2254187088))/479001600
n=8   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z + 4) (z + 17) (z (z (z (z (z (z + 3003) + 650335) + 31887345) + 478715944) + 2801474172) + 5628632400))/479001600
n=9   (z (z + 1) (z + 2) (z + 3) (z (z (z (z (z (z (z (z + 6084) + 2224986) + 197807904) + 6624333849) + 101172650796) + 757968611084) + 2706250964976) + 3670287592320))/479001600
n=10  (z (z + 1) (z + 2) (z + 15) (z (z (z (z (z (z (z (z + 12204) + 6765666) + 778746024) + 28576882929) + 398886393276) + 2520243207404) + 7300103947056) + 7857664525440))/479001600

 

FullSimplify[Table[ MagicNKZ, {z,0,5},{n,n,n},{k,0,8}]]//TableForm

z=0:

k=0  1 - 0^n (n + 1)

k=1  1/2 (n + 1) (0^n n - 2) + 2^n

k=2  -2^n (n + 1) + 1/2 n (n + 1) + 3^n - 1/6 0^n n (n^2 - 1)

k=3  -3^n n + 2^(n - 1) (n + 1) n + 1/24 (0^n (n - 2) - 4) (n^2 - 1) n - 3^n + 4^n

k=4  -4^n n + 1/2 3^n (n + 1) n - 1/120 (0^n (n - 3) - 5) (n - 2) (n - 1) (n + 1) n - 1/3 2^(n - 1) (n^2 - 1) n - 4^n + 5^n

k=5  -5^n (n + 1) + 2^(2 n - 1) n (n + 1) + 1/3 2^(n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) + 1/720 0^n (n ... - 2) (n - 1) n (n + 1) - 1/120 (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) + 6^n - 1/2 3^(n - 1) n (n^2 - 1)

k=6  1/2 5^n n (n + 1) - 6^n + 7^n + (n (-21 2^(n + 1) (n - 3) (n - 2) (n - 1) (n + 1) - (0^n (n - ... 1) (n + 1) - 105 2^(2 n + 3) (n^2 - 1) + 70 3^(n + 1) (n ((n - 2) n - 1) - 3 2^(n + 3) + 2)))/5040

k=7  -7^n (n + 1) + 2^(n - 1) 3^n n (n + 1) + 1/3 2^(2 n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) - 1/40 3^(n ... + 1))/40320 - ((n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1))/5040 + 8^n - 1/6 5^n n (n^2 - 1)

k=8  -8^n (n + 1) + 1/2 7^n n (n + 1) + 1/24 5^n (n - 2) (n - 1) n (n + 1) - 1/15 2^(2 n - 3) (n - ... 80 + ((n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1))/40320 + 9^n + 6^(n - 1) (n - n^3)

z=1:

k=0  1 - 0^n n

k=1  1/2 0^n (n - 1) n - n + 2^n

k=2  -2^n n - 1/6 (0^n (n - 2) - 3) (n - 1) n + 3^n

k=3  -3^n n + 1/24 ((0^n (n - 3) - 4) (n - 2) + 3 2^(n + 2)) (n - 1) n + 4^n

k=4  -4^n n + 1/2 3^n (n - 1) n - 1/3 2^(n - 1) (n - 2) (n - 1) n - 1/120 (0^n (n - 4) - 5) (n - 3) (n - 2) (n - 1) n + 5^n

k=5  -5^n n + 1/720 (n - 1) (12 (12 + 10 0^n + 15 2^n + 15 2^(2 n + 1) + 20 3^n) + n (n ((0^n (n - 14) - 6) n + 71 0^n + 15 2^(n + 1) + 54) - 2 (78 + 77 0^n + 75 2^n + 20 3^(n + 1)))) n + 6^n

k=6  1/2 5^n (n - 1) n + 7^n + ((-21 2^(n + 1) (n - 4) (n - 3) - (0^n (n - 6) - 7) (n - 5) (n - 4) ... 105 2^(2 n + 3)) (n - 2) (n - 1) n + 70 3^(n + 1) (n ((n - 6) n + 11) - 6 (1 + 2^(n + 2))) n)/5040

k=7  -7^n n + 2^(n - 1) 3^n (n - 1) n - 1/6 5^n (n - 2) (n - 1) n + 1/3 2^(2 n - 3) (n - 3) (n - 2) ... (n - 3) (n - 2) (n - 1) n)/40320 - ((n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) n)/5040 + 8^n

k=8  -8^n n + 1/2 7^n (n - 1) n - 6^(n - 1) (n - 2) (n - 1) n + 1/24 5^n (n - 3) (n - 2) (n - 1) n ... n - 2) (n - 1) n)/362880 + ((n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) n)/40320 + 9^n

z=2:

k=0  -0^n n + 0^n + 1

k=1  1/2 0^n (n - 2) (n - 1) + 2^n - n + 1

k=2  -2^n (n - 1) - 1/6 (0^n (n - 3) - 3) (n - 2) (n - 1) + 3^n

k=3  -3^n (n - 1) + 2^(n - 1) (n - 2) (n - 1) + 1/24 0^n (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) - 1/6 (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 4^n

k=4  -4^n (n - 1) + 1/2 3^n (n - 2) (n - 1) - 1/3 2^(n - 1) (n - 3) (n - 2) (n - 1) - 1/120 0^n (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 1/24 (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 5^n

k=5  -5^n (n - 1) + 2^(2 n - 1) (n - 2) (n - 1) - 1/2 3^(n - 1) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 1/3 2^(n ... - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) - 1/120 (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 6^n

k=6  -6^n (n - 1) + 1/2 5^n (n - 2) (n - 1) - 1/3 2^(2 n - 1) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 1/8 3^(n - ... n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1))/5040 + 1/720 (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 7^n

k=7  -7^n (n - 1) + 2^(n - 1) 3^n (n - 2) (n - 1) - 1/6 5^n (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 1/3 2^(2 n - ... - 3) (n - 2) (n - 1))/40320 - ((n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1))/5040 + 8^n

k=8  -8^n (n - 1) + 1/2 7^n (n - 2) (n - 1) - 6^(n - 1) (n - 3) (n - 2) (n - 1) + 1/24 5^n (n - 4) ... 2) (n - 1))/362880 + ((n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) (n - 1))/40320 + 9^n

z=3:

k=0  1 - 0^n (n - 2)

k=1  1/2 0^n (n - 3) (n - 2) + 2^n - n + 2

k=2  -2^n (n - 2) - 1/6 0^n (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 1/2 (n - 3) (n - 2) + 3^n

k=3  -3^n (n - 2) + 2^(n - 1) (n - 3) (n - 2) + 1/24 0^n (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) - 1/6 (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 4^n

k=4  -4^n (n - 2) + 1/2 3^n (n - 3) (n - 2) - 1/3 2^(n - 1) (n - 4) (n - 3) (n - 2) - 1/120 0^n (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 1/24 (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 5^n

k=5  -5^n (n - 2) + 2^(2 n - 1) (n - 3) (n - 2) - 1/2 3^(n - 1) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 1/3 2^(n ... - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) - 1/120 (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 6^n

k=6  -6^n (n - 2) + 1/2 5^n (n - 3) (n - 2) - 1/3 2^(2 n - 1) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 1/8 3^(n - ... n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2))/5040 + 1/720 (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 7^n

k=7  -7^n (n - 2) + 2^(n - 1) 3^n (n - 3) (n - 2) - 1/6 5^n (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 1/3 2^(2 n - ... - 4) (n - 3) (n - 2))/40320 - ((n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2))/5040 + 8^n

k=8  -8^n (n - 2) + 1/2 7^n (n - 3) (n - 2) - 6^(n - 1) (n - 4) (n - 3) (n - 2) + 1/24 5^n (n - 5) ... 3) (n - 2))/362880 + ((n - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) (n - 2))/40320 + 9^n

z=4:

k=0  1 - 0^n (n - 3)

k=1  1/2 0^n (n - 4) (n - 3) + 2^n - n + 3

k=2  -2^n (n - 3) - 1/6 0^n (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 1/2 (n - 4) (n - 3) + 3^n

k=3  -3^n (n - 3) + 2^(n - 1) (n - 4) (n - 3) + 1/24 0^n (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) - 1/6 (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 4^n

k=4  -4^n (n - 3) + 1/2 3^n (n - 4) (n - 3) - 1/3 2^(n - 1) (n - 5) (n - 4) (n - 3) - 1/120 0^n (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 1/24 (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 5^n

k=5  -5^n (n - 3) + 2^(2 n - 1) (n - 4) (n - 3) - 1/2 3^(n - 1) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 1/3 2^(n ... - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) - 1/120 (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 6^n

k=6  -6^n (n - 3) + 1/2 5^n (n - 4) (n - 3) - 1/3 2^(2 n - 1) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 1/8 3^(n - ... n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3))/5040 + 1/720 (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 7^n

k=7  -7^n (n - 3) + 2^(n - 1) 3^n (n - 4) (n - 3) - 1/6 5^n (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 1/3 2^(2 n - ... - 5) (n - 4) (n - 3))/40320 - ((n - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3))/5040 + 8^n

k=8  -8^n (n - 3) + 1/2 7^n (n - 4) (n - 3) - 6^(n - 1) (n - 5) (n - 4) (n - 3) + 1/24 5^n (n - 6) ... ) (n - 3))/362880 + ((n - 10) (n - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) (n - 3))/40320 + 9^n

z=5:

k=0  1 - 0^n (n - 4)

k=1  1/2 0^n (n - 5) (n - 4) + 2^n - n + 4

k=2  -2^n (n - 4) - 1/6 0^n (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 1/2 (n - 5) (n - 4) + 3^n

k=3  -3^n (n - 4) + 2^(n - 1) (n - 5) (n - 4) + 1/24 0^n (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) - 1/6 (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 4^n

k=4  -4^n (n - 4) + 1/2 3^n (n - 5) (n - 4) - 1/3 2^(n - 1) (n - 6) (n - 5) (n - 4) - 1/120 0^n (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 1/24 (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 5^n

k=5  -5^n (n - 4) + 2^(2 n - 1) (n - 5) (n - 4) - 1/2 3^(n - 1) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 1/3 2^(n ... - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) - 1/120 (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 6^n

k=6  -6^n (n - 4) + 1/2 5^n (n - 5) (n - 4) - 1/3 2^(2 n - 1) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 1/8 3^(n - ... n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4))/5040 + 1/720 (n - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 7^n

k=7  -7^n (n - 4) + 2^(n - 1) 3^n (n - 5) (n - 4) - 1/6 5^n (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 1/3 2^(2 n - ... 6) (n - 5) (n - 4))/40320 - ((n - 10) (n - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4))/5040 + 8^n

k=8  -8^n (n - 4) + 1/2 7^n (n - 5) (n - 4) - 6^(n - 1) (n - 6) (n - 5) (n - 4) + 1/24 5^n (n - 7) ... (n - 4))/362880 + ((n - 11) (n - 10) (n - 9) (n - 8) (n - 7) (n - 6) (n - 5) (n - 4))/40320 + 9^n

 

Expand[Table[ MagicNKZ, {z,0,5},{n,n,n},{k,0,8}]]//TableForm

z=0:

k=0  -0^n n - 0^n + 1

k=1  (0^n n^2)/2 + (0^n n)/2 - n + 2^n - 1

k=2  -1/6 0^n n^3 + n^2/2 + (0^n n)/6 - 2^n n + n/2 - 2^n + 3^n

k=3  (0^n n^4)/24 - (0^n n^3)/12 - n^3/6 + 2^(n - 1) n^2 - (0^n n^2)/24 + 2^(n - 1) n + (0^n n)/12 - 3^n n + n/6 - 3^n + 4^n

k=4  -1/120 0^n n^5 + (0^n n^4)/24 + n^4/24 - 1/3 2^(n - 1) n^3 - (0^n n^3)/24 - n^3/12 - (0^n n^2)/24 + (3^n n^2)/2 - n^2/24 + 1/3 2^(n - 1) n + (0^n n)/20 + (3^n n)/2 - 4^n n + n/12 - 4^n + 5^n

k=5  (0^n n^6)/720 - (0^n n^5)/80 - n^5/120 + 1/3 2^(n - 3) n^4 + (5 0^n n^4)/144 + n^4/24 - 1/3 2^ ... n^2/24 + 1/3 2^(n - 2) n + 1/2 3^(n - 1) n + (0^n n)/30 - 5^n n + 2^(2 n - 1) n + n/20 - 5^n + 6^n

k=6  -(0^n n^7)/5040 + (0^n n^6)/360 + n^6/720 - 1/15 2^(n - 3) n^5 - (0^n n^5)/72 - n^5/80 - 1/15 ... n - 2) n + 1/4 3^(n - 1) n + (0^n n)/42 + (5^n n)/2 - 6^n n + 1/3 2^(2 n - 1) n + n/30 - 6^n + 7^n

k=7  (0^n n^8)/40320 - (0^n n^7)/2016 - n^7/5040 + 1/45 2^(n - 4) n^6 + (11 0^n n^6)/2880 + n^6/360 ... ^n n)/56 + 2^(n - 1) 3^n n + (3^n n)/20 + (5^n n)/6 - 7^n n + 1/3 2^(2 n - 2) n + n/42 - 7^n + 8^n

k=8  -(0^n n^9)/362880 + (0^n n^8)/13440 + n^8/40320 - 1/315 2^(n - 4) n^7 - (7 0^n n^7)/8640 - n^7 ... + 6^(n - 1) n + (0^n n)/72 + (5^n n)/12 + (7^n n)/2 - 8^n n + 1/5 2^(2 n - 2) n + n/56 - 8^n + 9^n

z=1:

k=0  1 - 0^n n

k=1  (0^n n^2)/2 - (0^n n)/2 - n + 2^n

k=2  -1/6 0^n n^3 + (0^n n^2)/2 + n^2/2 - (0^n n)/3 - 2^n n - n/2 + 3^n

k=3  (0^n n^4)/24 - (0^n n^3)/4 - n^3/6 + 2^(n - 1) n^2 + (11 0^n n^2)/24 + n^2/2 - 2^(n - 1) n - (0^n n)/4 - 3^n n - n/3 + 4^n

k=4  -1/120 0^n n^5 + (0^n n^4)/12 + n^4/24 - 1/3 2^(n - 1) n^3 - (7 0^n n^3)/24 - n^3/4 + 1/3 2^(n ... + (2^n n^2)/3 + (3^n n^2)/2 + (11 n^2)/24 - (0^n n)/5 - (2^n n)/3 - (3^n n)/2 - 4^n n - n/4 + 5^n

k=5  (0^n n^6)/720 - (0^n n^5)/48 - n^5/120 + 1/3 2^(n - 3) n^4 + (17 0^n n^4)/144 + n^4/12 - 1/3 2 ... - 1) n^2 + (5 n^2)/12 - 2^(n - 2) n - 3^(n - 1) n - (0^n n)/6 - 5^n n - 2^(2 n - 1) n - n/5 + 6^n

k=6  -(0^n n^7)/5040 + (0^n n^6)/240 + n^6/720 - 1/15 2^(n - 3) n^5 - (5 0^n n^5)/144 - n^5/48 + 1/ ... (137 n^2)/360 - (0^n n)/7 - (2^n n)/5 - (3^n n)/4 - (5^n n)/2 - 6^n n - 1/3 2^(2 n) n - n/6 + 7^n

k=7  (0^n n^8)/40320 - (0^n n^7)/1440 - n^7/5040 + 1/45 2^(n - 4) n^6 + (23 0^n n^6)/2880 + n^6/240 ... n - 1) n - (0^n n)/8 - 2^(n - 1) 3^n n - (3^n n)/5 - (5^n n)/3 - 7^n n - 2^(2 n - 2) n - n/7 + 8^n

z=2:

k=1  -0^n n + 0^n + 1

k=2  (0^n n^2)/2 - (3 0^n n)/2 - n + 0^n + 2^n + 1

k=3  -1/6 0^n n^3 + 0^n n^2 + n^2/2 - (11 0^n n)/6 - 2^n n - (3 n)/2 + 0^n + 2^n + 3^n + 1

k=4  (0^n n^4)/24 - (5 0^n n^3)/12 - n^3/6 + 2^(n - 1) n^2 + (35 0^n n^2)/24 + n^2 - 2^(n - 1) n - (25 0^n n)/12 - 2^n n - 3^n n - (11 n)/6 + 0^n + 2^n + 3^n + 4^n + 1

k=5  -1/120 0^n n^5 + (0^n n^4)/8 + n^4/24 - 1/3 2^(n - 1) n^3 - (17 0^n n^3)/24 - (5 n^3)/12 + (15 ... ^n n)/60 - 4^n n - 1/2 3^(n + 1) n - 1/3 2^(n + 2) n - (25 n)/12 + 0^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 1

k=6  (0^n n^6)/720 - (7 0^n n^5)/240 - n^5/120 + 1/3 2^(n - 3) n^4 + (35 0^n n^4)/144 + n^4/8 - 1/3 ... + 1) n - 1/3 2^(n + 2) n - 2^(2 n - 1) n - (137 n)/60 + 0^n + 2^n + 3^n + 5^n + 6^n + 2^(2 n) + 1

k=7  -(0^n n^7)/5040 + (0^n n^6)/180 + n^6/720 - 1/15 2^(n - 3) n^5 - (23 0^n n^5)/360 - (7 n^5)/24 ... - 2^(2 n - 1) n - 1/3 2^(2 n + 2) n - (49 n)/20 + 0^n + 2^n + 3^n + 5^n + 6^n + 7^n + 2^(2 n) + 1

k=8  (0^n n^8)/40320 - (0^n n^7)/1120 - n^7/5040 + 1/45 2^(n - 4) n^6 + (13 0^n n^6)/960 + n^6/180 ... n - 1) n - 1/3 2^(2 n + 2) n - (363 n)/140 + 0^n + 2^n + 3^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 2^(2 n) + 1

z=3:

k=0  -0^n n + 2 0^n + 1

k=1  (0^n n^2)/2 - (5 0^n n)/2 - n + 3 0^n + 2^n + 2

k=2  -1/6 0^n n^3 + (3 0^n n^2)/2 + n^2/2 - (13 0^n n)/3 - 2^n n - (5 n)/2 + 4 0^n + 3^n + 2^(n + 1) + 3

k=3  (0^n n^4)/24 - (7 0^n n^3)/12 - n^3/6 + 2^(n - 1) n^2 + (71 0^n n^2)/24 + (3 n^2)/2 - 3 2^(n - 1) n - (77 0^n n)/12 - 2^n n - 3^n n - (13 n)/3 + 5 0^n + 3 2^n + 2 3^n + 4^n + 4

k=4  -1/120 0^n n^5 + (0^n n^4)/6 + n^4/24 - 1/3 2^(n - 1) n^3 - (31 0^n n^3)/24 - (7 n^3)/12 + 2^( ... 3^(n + 1) n - 1/3 2^(n + 2) n - (77 n)/12 + 6 0^n + 5^n + 3^(n + 1) + 2^(n + 2) + 2^(2 n + 1) + 5

k=5  (0^n n^6)/720 - (3 0^n n^5)/80 - n^5/120 + 1/3 2^(n - 3) n^4 + (59 0^n n^4)/144 + n^4/6 - 1/3 ... /3 2^(n + 3) n - 3 2^(2 n - 1) n - (87 n)/10 + 7 0^n + 5 2^n + 4 3^n + 2 5^n + 6^n + 3 2^(2 n) + 6

k=6  -(0^n n^7)/5040 + (0^n n^6)/144 + n^6/720 - 1/15 2^(n - 3) n^5 - (73 0^n n^5)/720 - (3 n^5)/80 ... + 2) n - (223 n)/20 + 8 0^n + 2^(n + 1) 3^n + 5 3^n + 3 5^n + 7^n + 3 2^(n + 1) + 2^(2 n + 2) + 7

k=7  (0^n n^8)/40320 - (11 0^n n^7)/10080 - n^7/5040 + 1/45 2^(n - 4) n^6 + (59 0^n n^6)/2880 + n^6 ... n - (481 n)/35 + 9 0^n + 7 2^n + 4 5^n + 2 7^n + 8^n + 5 2^(2 n) + 2^n 3^(n + 1) + 2 3^(n + 1) + 8

k=8  -(0^n n^9)/362880 + (0^n n^8)/6720 + n^8/40320 - 1/315 2^(n - 4) n^7 - (211 0^n n^7)/60480 - ( ... ^n + 2^(n + 2) 3^n + 7 3^n + 3 7^n + 9^n + 5^(n + 1) + 2^(n + 3) + 3 2^(2 n + 1) + 2^(3 n + 1) + 9

z=4:

k=1  -0^n n + 3 0^n + 1

k=2  (0^n n^2)/2 - (7 0^n n)/2 - n + 6 0^n + 2^n + 3

k=3  -1/6 0^n n^3 + 2 0^n n^2 + n^2/2 - (47 0^n n)/6 - 2^n n - (7 n)/2 + 10 0^n + 3 2^n + 3^n + 6

k=4  (0^n n^4)/24 - (3 0^n n^3)/4 - n^3/6 + 2^(n - 1) n^2 + (119 0^n n^2)/24 + 2 n^2 - 3 2^(n - 1) n - (57 0^n n)/4 - 3^n n - 2^(n + 1) n - (47 n)/6 + 15 0^n + 4^n + 3 2^(n + 1) + 3^(n + 1) + 10

k=5  -1/120 0^n n^5 + (5 0^n n^4)/24 + n^4/24 - 1/3 2^(n - 1) n^3 - (49 0^n n^3)/24 - (3 n^3)/4 + ( ... 2 3^(n + 1) n - 1/3 2^(n + 4) n - (57 n)/4 + 21 0^n + 3 4^n + 5^n + 5 2^(n + 1) + 2 3^(n + 1) + 15

k=6  (0^n n^6)/720 - (11 0^n n^5)/240 - n^5/120 + 1/3 2^(n - 3) n^4 + (89 0^n n^4)/144 + (5 n^4)/24 ... - 1) n - 2^(2 n + 1) n - (459 n)/20 + 28 0^n + 15 2^n + 10 3^n + 3 5^n + 6^n + 3 2^(2 n + 1) + 21

k=7  -(0^n n^7)/5040 + (0^n n^6)/120 + n^6/720 - 1/15 2^(n - 3) n^5 - (53 0^n n^5)/360 - (11 n^5)/2 ... n - (341 n)/10 + 36 0^n + 21 2^n + 6 5^n + 7^n + 2^n 3^(n + 1) + 5 3^(n + 1) + 5 2^(2 n + 1) + 28

k=8  (0^n n^8)/40320 - (13 0^n n^7)/10080 - n^7/5040 + 1/45 2^(n - 4) n^6 + (83 0^n n^6)/2880 + n^6 ... /70 + 45 0^n + 3 7^n + 8^n + 15 2^(2 n) + 7 3^(n + 1) + 2 5^(n + 1) + 6^(n + 1) + 7 2^(n + 2) + 36

z=5:

k=1  -0^n n + 4 0^n + 1

k=2  (0^n n^2)/2 - (9 0^n n)/2 - n + 10 0^n + 2^n + 4

k=3  -1/6 0^n n^3 + (5 0^n n^2)/2 + n^2/2 - (37 0^n n)/3 - 2^n n - (9 n)/2 + 20 0^n + 3^n + 2^(n + 2) + 10

k=4  (0^n n^4)/24 - (11 0^n n^3)/12 - n^3/6 + 2^(n - 1) n^2 + (179 0^n n^2)/24 + (5 n^2)/2 - 5 2^(n ... - 1) n - (319 0^n n)/12 - 3^n n - 2^(n + 1) n - (37 n)/3 + 35 0^n + 4 3^n + 4^n + 5 2^(n + 1) + 20

k=5  -1/120 0^n n^5 + (0^n n^4)/4 + n^4/24 - 1/3 2^(n - 1) n^3 - (71 0^n n^3)/24 - (11 n^3)/12 + 5/ ... 2^(n + 2) n - 1/2 3^(n + 2) n - (319 n)/12 + 56 0^n + 10 3^n + 5^n + 4^(n + 1) + 5 2^(n + 2) + 35

k=6  (0^n n^6)/720 - (13 0^n n^5)/240 - n^5/120 + 1/3 2^(n - 3) n^4 + (125 0^n n^4)/144 + n^4/4 - 2 ... - 1) n - 2^(2 n + 1) n - (743 n)/15 + 84 0^n + 35 2^n + 20 3^n + 4 5^n + 6^n + 5 2^(2 n + 1) + 56

k=7  -(0^n n^7)/5040 + (7 0^n n^6)/720 + n^6/720 - 1/15 2^(n - 3) n^5 - (29 0^n n^5)/144 - (13 n^5) ... 09 n)/30 + 120 0^n + 2^(n + 2) 3^n + 35 3^n + 7^n + 2 5^(n + 1) + 7 2^(n + 3) + 5 2^(2 n + 2) + 84

k=8  (0^n n^8)/40320 - (0^n n^7)/672 - n^7/5040 + 1/45 2^(n - 4) n^6 + (37 0^n n^6)/960 + (7 n^6)/7 ... + 165 0^n + 5 2^(n + 1) 3^n + 56 3^n + 4 7^n + 8^n + 35 2^(2 n) + 4 5^(n + 1) + 21 2^(n + 2) + 120

 

Send mail to Cecilia@noticingnumbers.net with questions or comments about this web site.
Copyright © 2004 noticingnumbers.net
Last modified: 12/16/05